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S の字形曲線の方程式

山本信雄

指数関数を用いて S の形を与える曲線の方程式を立てることを試みます。



図1


図2
   図1に示すように直線AB上に点 P が媒介変数 (ここに、 ) に従って移動することを想定します。点 P の (x, y) 座標をとして、その座標を表す方程式を、定数 a, b, p を用いて次のように仮定します。
                    .                      (1)
ここに、(1)式は図2に示すような曲線です。
   次に、点 P を基点とするベクトルを、定数 c, k, q を用いて次にように仮定します。
                    ,                      (2)
ただし、i は虚数単位を示します。
   すると、点 Q を表す座標は次のように表され、媒介変数 (ここに、 ) の変化に従って、点 Q は S の形を与える曲線を描くことができます。

                    ,                      (3)
および、

                    ,                      (4)
ただし、
   媒介変数 の範囲で変化させたときに(3), (4)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。

図3
図4
図5

図6
図7

図8
図9
図10


   (3),(4)式を数値計算して図3から図10の S 曲線を得るための C++ プログラムはこちら S 曲線の計算プログラムです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
   次に、C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、「S_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、計算されたデータ(S 曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
   次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの「外部データの取り込み」機能で行います。ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存されるデータ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
   最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある「グラフ ウィザード」をクリックして、その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると S 曲線が描かれます。


[蛇足]
   上記と同様の方法で疑問符(?)の形を式で表してみました。

(その1)
   上記(3)、(4)式に相当して次式を考えます。

                    ,                      (5)
および、

                    ,                      (6)
ただし、
   媒介変数 の範囲で変化させたときに(5), (6)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。

図11
図12


   (5),(6)式を数値計算して図11、図12の?形 曲線を得るための C++ プログラムはこちら ?形曲線の計算プログラム_1です。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。

(その2)
   上記(3)、(4)式に相当して次式を考えます。

                    ,                      (7)
および、

                    ,                      (8)
ただし、
   媒介変数 の範囲で変化させたときに(7), (8)式が描く曲線を図に示すと以下のようになります。

図13
図14


   (7),(8)式を数値計算して図13、図14の?形 曲線を得るための C++ プログラムはこちら ?形曲線の計算プログラム_2です。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。


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updated: 2010.02.20, edited by N. Yamamoto
Reviced in Mar. 16, 2015.