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指数関数を用いたとつ型およびおう型の ひずみ円またはひずみ円の方程式

山本 信雄

    ここに3個の方程式があります。
             ,                            (1)
             ,                                     (2)
             ,                     (3)
ただし、(1)式と(2)式の定数 a, b, および, c は任意の実数ですが、 (3)式の定数 a のみ次式の制限があります。
             .                                 (4)

    のとき、(1)式と(3)式の双方共マクローリン展開によって(2)式に移行することが次の計算で示されます。

             .                                 (5)

             .                               (6)

             .                                 (7)

    このように移行した(7)式は、その式の性格が(1)式と(3)式のそれと連続しているとみなされる一方で、 (1)式と(3)式から独立したとして考えられるので、改めて、(7)式右辺の から係数の 2 を取り去って(2)式のように書き換えることは自由です。 (式の全体的な概要さえ変更になっていなければ問題ない。) こうして、(2)式の a, b, および, c を任意の実数と再定義できます。

    b=c=1 の場合につき a の値をいろいろ変えて、(1)式、(2)式、および、(3)式をコンピュータで計算させてグラフに表しますと, 図1から図10 のようになります。
    (1)式は凸形に歪んだ円、(2)式は円、(3)式は凹形に歪んだ円を表示し、 (1)式において a の値が十分大きいときは四辺形となり、 (3)式において a の値が定義域最小のときアステロイド曲線(星形曲線)に似てきます。


上図をアニメーションで示しますと次のようです。 なお、画像の自動切り替え方法はこちら 画像の切り替え法を参考にしました。


    (1)式において a の値が十分大きいとき、bc の値を変えることによって、 別方法のこちら 矩形表示の別方法 と同様に、縦と横の長さが異なる矩形(長方形)が得られます。a=10 で、b=1, c=2 の場合と b=2, c=1 の場合の2例を次に示します。



    (1)式を計算して図1から図4、および、図11と図12の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 凸形歪円の計算プログラム、 (2)式を計算して図5の円を得るための C++ プログラムはこちら 円の計算プログラム、 (3)式を計算して図6から図10の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 凹形歪円の計算プログラムです。 画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると,自由にご利用できます。
    次に, C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の 「新規作成」をクリックすると,編集画面が現れますが, この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして, 「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。 さらに,「実行」をクリックすることにより, 「distorted_circle.txt」、または、 「circle.txt」という名のテキストファイルが作られて, 計算されたデータ(歪円、または、円の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に,このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには,エクセルファイルの 「外部データの取り込み」機能で行います。 ただし,ここに紹介した計算プログラムの場合,テキストファイルに保存される データ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので, 「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に,エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に,エクセルファイルにある 「グラフ ウィザード」をクリックして, その中の「散布図」を選び,スムーズなカーブになる絵図をクリックすると矩形等の直線と曲線が描かれます。

[参考]

    一般的方法

    一般的には、次の方程式によって円や楕円、および、凹凸双方の歪んだ円または楕円が表現できます。
             ,                            (8)
    n=4 の場合と n=1/4 の場合の2例を次に示します。



    次数 n が自然数とその逆数のときは計算が容易ですが、それ以外の広い範囲では数値計算がやや面倒です。 けれども、 n を限りなくゼロに近づけることが可能なので、 本文の方法において(4)式の制限を受ける図10 の星形よりも、図14 のように、より鋭い星形を表現できる強みがあります。

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updated: 2008.6.29, edited by N. Yamamoto
revised in Aug.30, 2013, Dec. 09, 2013 and Mar. 16, 2015.