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卵形の曲線を表す方程式 Ⅴ

山本信雄

本ページの図形は自由にコピーして自由にご使用できます。

   卵形の曲線を表す新たな方程式は次のとおりです。

                    .                      (1)
   この式は、式の形から分かるように、楕円の変形といえます。

   (1)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと,図1のようになります。ただし、定数は、一般性を失わないとしました。


図1


   この中で,最も現実の卵の形に近い曲線を選んだときの卵形曲線と山本が以前に見つけた卵形曲線(こちら 卵形曲線を参照)とを比較すると図2のようになります。両者にやや差が生じていますが、卵形に近いといえます。ただし、比較のため、後者は座標の移動と画像の縮小を行っています。

   a=1, b=0.72, c=0.08 の場合が最も現実の卵に近いようです。これを図3に示します。




図2 今回の卵形曲線(Novel type)と以前に山本が見つけたもの
(Previously found one)との比較。

ただし、比較のため、後者は座標の移動や左右の反転を行っている。
図3 a=1, b=0.72, c=0.08 のときの卵形曲線
(ピンク色のカーブ)と現実の卵の形との比較


   (1)式を数値計算して図1の曲線群を得るための C++ プログラムはこちら 曲線群の計算プログラムです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
   また、図1のうちの1個の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 1個の曲線の計算プログラムです。このプログラムで、定数 , の数値を変えることにより曲線の形を変えることができます。
   次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
   次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの「外部データの取り込み」機能で行います。ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存されるデータ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
   最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある「グラフ ウィザード」をクリックして、その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。

   次に、(1)式を次式の様な定数表現に変えてみます。式そのものは変わりません。

                    .                      (2)

   (2)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと,図4、図5 のようになります。c の値によっては変わった図形が描かれます。


図4


図5


   (2)式を数値計算して図3の曲線群を得るための C++ プログラムはこちら 曲線群の計算プログラムです。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。

   最後に、(1)式の直交座標表現は次式となります。

                    .                      (3)

   [一般形について]
   数学独学塾塾長氏(浅井康之氏)より、上記(3)式が、次の一般形の式から得られるという報告が寄せられました。

                    .                      (4)

   この(4)式で、係数を に置き換えると上記(1)式となり、 に置き換えると数学独学塾塾長氏(浅井康之氏)のサイトの「卵形曲線(楕円を y 軸方向へ非一様に拡大する)」の項に、および、塾長氏の計算をまとめた私の別ページの(1)式になります。すなわち、ここのページの卵形曲線は数学独学塾塾長氏の最初の卵形曲線と同一であり、互いに別表現の式で解析していた、ということが分かりました。数学独学塾塾長氏に感謝いたします。



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updated: 2009.11.08, edited by N. Yamamoto
reviced in Aut. 30, 2013, Sep. 02, 2013, Feb. 06, 2015 and Mar. 16, 2015.