TDCC LABORATORY
TDCC 研究室


   HOME ENGLISH                                         

4次方程式の新(?)解法

    山本 信雄

1.   まえがき

    4次方程式の一般的解法その2)とは別に、私の思いつきの解法を紹介します。 この方法では、2個(双子)の2次方程式を解くことに帰着させるのですが、これら2次方程式の係数を求めるときに、 3次方程式を解くことになります。 即ち、3次方程式と双子の2次方程式を解く問題に置き換える方法です。
    ちなみに、一般的な5次方程式の解法は存在しません


2.   解法の方針

    次の4次方程式を考えます。
           .             (1)
    これを次の形に変更することを考えます。
           ,               (2)
ここに、
           ,                   (3)
および、
           .               (4)
    (2)式は、f(x) に関する2次方程式を示し、f(x) 自身も(3)式のように2次式で与えるものです。 (4)式は、f(x) に関する2次方程式の判別式の条件を次のように与えるためです。
           .               (5)
    この条件により、(2)式の解が次の有理式で表されます。
           .               (6)
    (3)式を上式に代入して、次の2個(複号同順)の2次式を解くことによって元の4次方程式の4個の解を得る、というわけです。
           .               (7)
    残された問題は、上式の各係数 a, b, c, d, e を決めることです。この具体的計算を次節に示します。


3.   係数 a, b, c, d, e の求め方

    (3),(4)式を(2)式に代入すると、
           .               (8)
    上式と元の方程式(1)式との比較により、
           ,                                             (9)
           ,                (10)
           ,                       (11)
および、
           ,                   (12)
を得ます。

    (9)式より、
           .                                           (13)
    (9)式を(10)式、(11)式、(12)式の各々に代入すると、
           ,                 (14)
           ,                        (15)
           .                            (16)

    (15)式より、
           .                        (17)
    上式の両辺のそれぞれを二乗して、
           .                    (18)

    上式に、(14)式と(16)式を代入すると、 b+c を求める3次方程式が得られます。
           ,                    (19)
ただし、
           ,                                           (20)
           ,                                 (21)
および、
           .                  (22)

(14)式より、
           .                  (23)
(16)式より、
           .                       (24)


4,   係数 a, b+c, d, e の決定
    係数 a は(13)式で得られます。係数 b+c は(19)式の3次方程式の実数解で得られます。 この実数解が3個のときは、そのうちの任意の1個を選びます。 この実数解を使って de が、それぞれ、(23)式、および、(24)式で得られます。


5.   おわりに
    前節で得られた係数を(7)式に代入して、この実質的に2個の2次方程式が決定されます。 これを解くことによって、(1)式で与えられる4次方程式の4個の解が求まります。

   [註]以上の解法が真に有効か否かを現在検討中です。



~ブラウザの「戻る」で 前頁 に戻ります~

~または、下のボタンを押して HOME に戻ります~


HOME


updated: 2008.11.04, edited by N. Yamamoto
Revised in Mar. 16, 2015.