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(参考) 本文「卵形曲線を表す方程式」中の (7) 式の導出




図1 卵形曲線を描くP点の説明

    「卵形曲線を表す方程式」の本文にも記述しましたように、発想の基礎になる図が右図です。 図中、点 P、並びに、点 Q の座標はそれぞれ P(x, y)、および、Q(, 0) です。 図中の各変数は、本文で述べたように、次の 2 式のような仮定があります。

           \begin{align} x_{ F }=ℓ\cos \theta \end{align}                         (A1)
           \begin{align} r_{ F }=a_{ P }+b_{ P }\cos \theta \end{align}                         (A2)
    右図の直角三角形 PQH に於いて、次の2式が成り立ちます。
           \begin{align} x-x_{ F }=r_{ P }\cos \theta \end{align}                         (A3)
           \begin{align} y=r_{ P }\sin \theta \end{align}                         (A4)
また、直角三角形 PQH に於けるピタゴラスの定理により、
           \begin{align} r_{ P }^{ 2 }=(x-x_{ F })^{ 2 }+y^{ 2 } \end{align}                         (A5)
これに (2) 式と (1) 式を代入すると、
           \begin{align} (a_{ P }+b_{ P }\cos \theta)^{ 2 }=(x-ℓ\cos \theta)^{ 2 }+y^{ 2 } \end{align}                     (A6)
       \begin{align} ∴a_{ P }^{ 2 }+2a_{ P }b_{ P }\cos \theta+b_{ P }^{ 2 }\cos^{ 2 } \theta=x^{ 2 }-2ℓx\cos \theta+ℓ^{ 2 }\cos^{ 2 } \theta+y^{ 2 } \end{align}
これを整理して
           \begin{align} x^{ 2 }+y^{ 2 }-2(ℓx+a_{ P }b_{ P })\cos \theta-[a_{ P }^{ 2 }+(b_{ P }^{ 2 }-ℓ^{ 2 })\cos^{ 2 } \theta]=0 \end{align}                    (A7)
 本文にも書きましたように、取り扱いを容易にするために (解析的に解けるように)
           \begin{align} b_{ P }=ℓ \end{align}                                         (A8)
と仮定します。上式を (A7) 式に代入して
           \begin{align} x^{ 2 }+y^{ 2 }-a_{ P }^{ 2 }-2(ℓx+a_{ P }ℓ)\cos \theta=0 \end{align}                  (A9)
       \begin{align} ∴\cos \theta= \frac{x^{ 2 }+y^{ 2 }-a_{ P }^{ 2 }}{2ℓ(x+a_{ P })} \end{align}                         (A10)
 また、(A9) 式を次のように変形します。
           \begin{align} x^{ 2 }+y^{ 2 }-2(x+a_{ P })(a_{ P }+ℓ\cos \theta)+2(x+a_{ P })a_{ P }-a_{ P }^{ 2 }=0 \end{align}
       \begin{align} ∴x^{ 2 }+y^{ 2 }-2(x+a_{ P })(a_{ P }+ℓ\cos \theta)+2a_{ P }x+a_{ P }^{ 2 }=0 \end{align}                      (A11)
 ところで、(A8) 式を (A2) 式に代入して、
           \begin{align} r_{ P }=a_{ P }+ℓ\cos \theta \end{align}                           (A12)
これを (A4) 式に代入すると
           \begin{align} y=(a_{ P }+ℓ\cos \theta)\sin \theta \end{align}                         (A13)
 一方、(A11) 式に sin θ をかけると
           \begin{align} (x^{ 2 }+y^{ 2 }+2a_{ P }x+a_{ P }^{ 2 })\sin \theta-2(x+a_{ P })(a_{ P }+ℓ\cos \theta)\sin \theta=0 \end{align}                     (A14)
(A14) 式左辺の最後の項に (A13) 式を代入して。
           \begin{align} (x^{ 2 }+y^{ 2 }+2a_{ P }x+a_{ P }^{ 2 })\sin \theta-2(x+a_{ P })y=0 \end{align}
       \begin{align} ∴\sin \theta = \frac{2(x+a_{ P })y}{(x+a_{ P })^{ 2 }+y^{ 2 }} \end{align}                         (A15)
 三角公式は
           \begin{align} \sin^{ 2 } \theta+\cos^{ 2 } \theta=1 \end{align}                         (A16)
(A10) 式と (A15) 式を上式に代入して

          
\begin{align} \frac{(x^{ 2 }+y^{ 2 }-a_{ P }^{ 2 })^{ 2 }}{4ℓ^{ 2 }(x+a_{ P })^{ 2 }} + \frac{4(x+a_{ P })^{ 2 }y^{ 2 }}{[(x+a_{ P })^{ 2 }+y^{ 2 }]^{ 2 }}=1 \end{align}
                        (A17)

が得られます。これがホームページ本文の (7) 式です。



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Updated: Jan. 20, 2022, edited by N. Yamamoto.
Revised on Jan. 25, 2022 and Apr. 02, 2022.