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リンゴ形曲線の方程式

山本信雄

カージオイド曲線の方程式に指数関数を組み合わせて図形を描かせているうちに、偶然、リンゴ形の曲線が現れました。


図1  カージオイド曲線
    別ページのハート形曲線Ⅱ(こちら ハート形曲線Ⅱ の冒頭に記したように、図1に示すカージオイド曲線の極座標表示の方程式は次式で表されます。

                     ,                        (1)
ここに、変数 および は、それぞれ、極座標における動径と位相角を表し、 の範囲は です。 これを直交座標に変換する通常の公式は、

                     ,                        (2)
です。

    以降、変数 および を単なる媒介変数として扱い、 指数関数を導入して(1)、(2)式を改変した次式を考えます。

                     ,                        (3)
ただし、 の範囲は で与えられ、a, b, p, q は定数です。
    媒介変数 の範囲で変化させたときに (3)式が描く曲線を図2に示し、これを着色するとその右のようになって、リンゴ形の図形が描かれます。

図2


    (3)式を数値計算して図2のリンゴ形曲線を得るための C++ プログラムはこちら スペード形曲線の計算プログラム_1です。 画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    次に、C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の 「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、 この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、 「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。 さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、 「apple.txt」という名のテキストファイルが作られて、 計算されたデータ(曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの 「外部データの取り込み」機能で行います。 ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存される データ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、 「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある 「グラフ ウィザード」をクリックして、 その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックするとスペード曲線が描かれます。

    参考までに、 の範囲を全範囲に拡張した場合に(3)式が描く図形を図3に示します。
図3


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updated: 2010.03.29, edited by N. Yamamoto
Revised in Mar. 16, 2015.