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浅井康之氏の新たな3種の卵形曲線

浅井康之氏(数学独学塾塾長)(東京都町田市), 山本信雄

浅井氏の提案による3種の卵形曲線のご報告が寄せられました。
氏のご了承の上に、メールで戴いた資料をもとにして山本も計算を進め、再構成してみました。


図1 卵形曲線(楕円を y 軸方向へ非一様に拡大する)
1.   卵形曲線(楕円を y 軸方向へ非一様に拡大する)

    浅井氏の提案による 卵形曲線(楕円を y 軸方向へ非一様に拡大する)の方程式 は次のとおりです。

                     .                        (1)

    (1)式を変形すると次式が得られます。

                     .                        (2)

    (2)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと,図1のようになります。

    a=1.5, b=1.05, c=11 の場合と現実の卵との比較を図2に示します。 図4を見て分かるように、卵形曲線は現実の卵の形とほぼ一致しているようです。







図2 a=1.5, b=1.05, c=11 のときの卵形曲線
(ピンク色のカーブ)と現実の卵の形との比較
    (1)式を数値計算して図1の曲線群を得るための C++ プログラムはこちら 曲線群の計算プログラム 1bです。 画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    また、図1のうちの1個の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 1個の曲線の計算プログラム 1です。 このプログラムで、定数 a, b, c の数値を変えることにより曲線の形を変えることができます。
    次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の 「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、 この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、 「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。 さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、 「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、 計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの 「外部データの取り込み」機能で行います。 ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存される データ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、 「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある 「グラフ ウィザード」をクリックして、 その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。


図3 卵形曲線(回転する円の半径と中心を振動させる)
2.   卵形曲線(回転する円の半径と中心を振動させる)

    浅井氏の提案による 卵形曲線(回転する円の半径と中心を振動させる)の方程式 は次のとおりです。

                     .                        (3)

    (3)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと,図3のようになります。




    a=1.35, b=0.9, c=0.5 の場合と現実の卵との比較を図4に示します。 図4を見て分かるように、卵形曲線は現実の卵の形とほぼ一致しているようです。










図4 a=1.35, b=0.9, c=0.5 のときの卵形曲線
(ピンク色のカーブ)と現実の卵の形との比較
    (2)式を数値計算して図3の曲線群を得るための C++ プログラムはこちら 曲線群の計算プログラム 2bです。 画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    また、図3のうちの1個の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 1個の曲線の計算プログラム 2です。 このプログラムで、a, b, c の数値を変えることにより曲線の形を変えることができます。
    次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の 「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、 この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、 「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。 さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、 「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、 計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの 「外部データの取り込み」機能で行います。 ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存される データ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、 「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある 「グラフ ウィザード」をクリックして、 その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。


図5 卵形曲線(ヘビサイド関数を使用する蛇道な方法)
3.   2個の楕円をつなぎ合わせる方法、すなわち、 卵形曲線(ヘビサイド関数を使用する簡易な方法)

    浅井氏の提案による、2個の楕円をつなぎ合わせて卵形に近づける 簡便な方法、すなわち、ヘビサイド関数を使用する蛇道な方法があります。 その方程式は sgn 関数(符号関数)

                                             (4)

を使って次のようです。

                                             (5)
    なお、c=a のときは1個の楕円になります。

    (5)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと,図5のようになります。

    a=1, b=0.72, c=0.9 の場合と現実の卵との比較を図6に示します。 図6を見て分かるように、卵形曲線は現実の卵の形とよく合っているようです。



図6 a=1, b=0.72, c=0.9 のときの卵形曲線
(ピンク色のカーブ)と現実の卵の形との比較
    (5)式を数値計算して図5の曲線群を得るための C++ プログラムはこちら 曲線群の計算プログラム 2bです。 画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
    また、図5のうちの1個の曲線を得るための C++ プログラムはこちら 1個の曲線の計算プログラム 2です。 このプログラムで、a, b, c の数値を変えることにより曲線の形を変えることができます。
    次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の 「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、 この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、 「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。 さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、 「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、 計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの 「外部データの取り込み」機能で行います。 ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存される データ間の仕切りはカンマ()で指定してありますので、 「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある 「グラフ ウィザード」をクリックして、 その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。



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updated: 2009.09.18, added; 2009.10.17, edited by N. Yamamoto
Revised in Feb. 06, 2015 and Mar. 16, 2015.