本ホームページの、「指数関数を用いた凸型および凹型の歪円または歪楕円の方程式」 （こちら を参照）のページの中の凹型の歪円の方程式を基にして、星形、および、花びらの形を表す方程式を表示することを試みます。
    凹型の歪円の方程式は次式。
             ,                     (1)
ただし、定数 a, b, および c は正の実数ですが、a のみ次の制限があります。
             .                                 (2)
    (1)式から得られる図形の例を、図1に示します。この図形の y>0 の上半面の領域を利用して、 x を極座標の位相角 に相当する変数に、y を極座標の動径 r に相当する変数に、 それぞれ置き換えます。
    先ず、位相角 への置き換えは、 図1に示されるような4つのコーナーをもつ表示から任意の n 個のコーナー（ n は自然数）をもつ表示に拡張することを含めて、図2のように行いました。 その変換式は次のようです。
             ,                     (3)
ただし、は、元の凹形歪円曲線がｘ軸を切る（すなわち、方程式が y=0 を満たす）最大値を示し、 それは次式で表されます。
             .                                 (4)
    次に、動径 r への置き換えは、
             .                     (5)

    以上によって、(1)式は次式に書き換えられます。これによって、元の4つのコーナーをもつ表示から任意の n 個のコーナーをもつ表示に変換されます。
             .                                 (6)
    上式より、n 角表示における極座標の動径 r が次式で得られます。
             .                                 (7)
    このように、極座標 表示の「星形、および、花びらの形を表す方程式」が得られます。 直交座標 (x, y) 表示のときは、次式の通常の変換を施します。
             ,                     (8)
および、
             .                     (9)

    の範囲での値を与えながら、 (7)式と (8)、および、(9)式を C++言語プログラムによって計算します。計算されたデータにエクセル・ファイルのグラフィック・ ウィザードを用いると、 以下のような図形が描かれます。

    続編の花形曲線はこちら です。

［参考］    一般的方法について

    (1)式の直交座標 (x, y) 表示を極座標 表示に、次の変換公式を使って変換します。
             ,                     (10)
および、
             .                     (11)
    4つのコーナーをもつ表示から任意の n 個のコーナーをもつ表示に拡張し、かつ、必ず真上に1つのコーナーが来るようにするには、 位相角をに変えることで実現されます。 この場合、直交座標から極座標へ変換する変換公式は、(10)、(11)式に代えて、次式となります。
             ,                     (12)
および、
             .                     (13)
    (12)、(13)式を(1)式に代入すると次式が得られます。
             .                     (14)
ただし、定数 a, b, および c は正の実数ですが、a のみ次の制限があります。
             .                                 (15)
    (14)式での範囲での値を与えて計算することにより、 原理的には、動径 r が得られる筈ですが、残念ながら、極く一部の n の値を除いては解析的に不可能です。