本サイトは   GENERATING AVIAN EGG USING RATIONAL BEZIER QUADRATIC CURVES に紹介されています。
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    別のページに取り上げる凹形ひずみ円（こちら ）を変えて、卵形に近い曲線になると考えられる次式を取り扱います。

                     .                      (1)

(1)式を解くと次式になります。

                     .                      (2)
これが存在する条件は次式です。

                     .                      (3)

    (2)式をコンピュータで計算させて、最も現実の卵の形に近い形を追求した結果、a=0 もしくは a の値が小さい範囲にのみそれが存在することが分かりました。以前に見つけた卵形曲線（こちら ）と比較して図1に示します。
    a の値が大きくなるにつれ、図2のように変形し、さらに大きくなると(3)式を満足せず、曲線も存在しなくなります。さらに大きくなると、再び(3)式を満足しますが、図3のようなy 方向に発散する図形が得られます。

    a=0, b=2.0, c=2.65, d=k1=k2=k3=1 の場合と現実の卵との比較を図4に示します。ただし、パラメータ値 c は、図1のときより少し変えています。図4を見て分かるように、凹形ひずみ円の変形から作られる卵形曲線は、現実の卵の形とかなりよく一致しているようです。

図4　a=0, b=2.0, c=2.65, d=k1=k2=k3=1 のときの 卵形曲線（ピンク色のカーブ）と現実の卵の形 との比較

    次に、凸形ひずみ円からの卵形への変形は次式になります。
                     .                      (4)
(1)式を解くと次式になります。

                     .                      (5)
これが存在する条件は次式です。

                     .                      (6)

   (5)式をコンピュータで計算させて、最も現実の卵の形に近い形を追求した結果、 の場合、 の場合、および、その他の場合の3例をグラフに表すと，それぞれ、図5、図6、および、図7の青色カーブのようになります。ピンク色のカーブは、比較のため、以前に見つけた卵形曲線を示します。このように、広範囲のパラメータ値にわたって卵形曲線が存在します。

    ここで注意するべきは、(4)式において、 とすると、 となり、(4)式自体が成立しません。

    1つの例として、a=0, b=1.5, c=2.2, d=k1=k2=k3=1 の場合と現実の卵との比較を図8に示します。ただし、パラメータ値 a, b は、図1のときより少し変えています。図8を見て分かるように、凸形ひずみ円からの変形による卵形曲線の現実の卵の形との一致はあまりよくありません。

図8　a=0, b=1.5, c=2.2, d=k1=k2=k3=1 のときの 卵形曲線（ピンク色のカーブ）と現実の卵の形 との比較