「卵形線」の数学的な定義は Ikuro 氏のサイト 「デルトイドの幾何学(その9)」の冒頭に書かれていますが、 ここでは、現実の鶏卵に近い形を与える曲線の方程式を追求し、その曲線を暫定的に「卵形曲線」と呼ぶことにします。
    伊藤氏の発案よる新たな卵形曲線について、氏より報告が寄せられました。 氏のご了承の上に、メールで戴いた資料をもとにして、山本が計算を進め、再構成してみました。
    なお、卵形曲線を表す方程式は、意外にもそう簡単には見つかりませんので、本稿もまた一つの貴重なものとなるでしょう。
    このページのお問い合わせは、伊藤氏のメール　t_ito@kcn.ne.jp　になさるとよいでしょう。 伊藤氏は「トーラスの測地線」のページにもコメントを書かれています。
    本方法の発展形が The Egg Equations にあります。
    また、本方法ついて   Twitterデフォルトアイコンの卵を表す方程式が判明（？）,     同（アーカイブ版） があります。 さらに、本サイトは   GENERATING AVIAN EGG USING RATIONAL BEZIER QUADRATIC CURVES 、   The Egg Equations に紹介され、 Natural Aesthetic Curves for Design の論文に引用されています。

    以上、上記のサイトや論文に紹介・引用された本サイトの著者名が「伊藤忠夫」、「伊藤忠夫、 山本信雄」、「Tadao Itou」、「Tadao Itou & Nobuo Yamamoto」、「Itou & Yamamoto」となっていますが、本サイトのアドレスが古い順に「Http://www16.ocn.ne.jp/~akiko-y/Egg/index_egg_by_Itou_E.html」、 「http://www.geocities.jp/nyjp07/Egg/index_egg_by_Itou_E.html」、「http://www.geocities.jp/nyjp07/index_egg_by_Itou_E.html」　を経過して現在の本サイトのアドレス「http://nyjp07.com/index_egg_by_Itou_E.html」になっています。
    古いアドレスは使えませんが、無料の インターネット・アーカイブ検索（Internet Archive）で古いアドレスを検索すると、保存されていた当時のサイトが現れる可能性があります。

図1　伊藤忠夫氏発案[(1)式]の卵形曲線。 ただし、－π≦θ≦π の範囲

   提案の卵形曲線の方程式は、平面位相角 θ を媒介変数として次のように表します。
                     .                        (1)
    の場合につき， の値をいろいろ変えて (1)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと，図1のようになります。

    のときの卵形曲線と山本の卵形曲線 （こちら を参照） とを比較すると図2のようになって、両者ほとんど一致します。 ただし、比較のため、前者は 方向に の値だけ平行移動させています。

    (1)式における の定義範囲を除外して広範囲 （実際には、 で すべての に対する曲線が含まれます。）に設定すると、 (1)式を表す曲線は図3のようになります。ただし、 かつ、 の場合を例に示します。この外周が図1の卵形曲線となります。

    なお、この卵型曲線について興味ある報告があります。 （こちら を参照）

図4　 のときの卵形曲線 （ピンク色のカーブ）と現実の卵の形との比較

    かつ、 のとき （一般的条件は、）が最も現実の卵に近いようです。 これを図4に示します。

    図3の各カーブ a, b, c, d は、以下に示す の各範囲に対応します。
                  ,           (2)
ただし、n は整数。

    (2)式の表示ではよく分からないので、n=0 として示しますと次の範囲になります。
                  .           (2)'

    しかし、(2)'式の各範囲は複雑に交差しながら重複しているので、未だよく分かりません。 そこで、重複しないように真ん中の範囲のみを抜き出すと、次の表示になり、スッキリします。
                  .           (2)''

［参考］　図3の曲線を表す と の関係式

    (1)式の各式を2乗すると、
            ,           (3)    および、             .           (4)
三角関数の公式とを(4)式に適用すると、
            .
上式に(3)式を代入して、
            .
上式を整理すると、
            .
上式両辺の2乗を取れば、
            .
三角関数の公式を上式に適用すると、
            .
これに(1)式を代入して、
            .
上式を整理して、見やすい形に整えると、
            ,              (5)
のような５次方程式が得られ、これは、山本の卵形曲線 （こちら ） の(9)式より次数が1つ増えて、より複雑になります。

    直円錐を斜めに平面で切ると、その切り口は卵形になるように思えますが、実際は楕円になります。これはよく知られています。

    双曲幾何をユークリッド世界で実現できる擬球というものがあります。それは回転面ですが、 円錐ではなくて裾の広がったスカートに似ています。ですから、擬球を斜めに平面で切れば、その断面は卵形になるはずだと思われます。 実行してみると、図5に示すように、確かに卵形が得られます。

    図5において、2つの曲面
       平面：　
       擬球：　
                              
                              
の共有点をなぞればよいと考えて、 を変化させ
                               (上と同じ)
                              
                              
によって描いたものです。ソフトは Visual Basic です。

    課題は、擬球から得た卵形曲線を平面座標で
                  
のように表す式を求めることです。