ハート形曲線は  Heart Curve - Mathematische Basteleien、 および、First heart Curve - Wolfram|Alpha、および、 Heart Curve -- from Wolfram MathWorld   のサイトに代表して見られます。
    ここでも、 ハート形曲線 II　（こちら ） の「第3節　方法2」と同様にカージオイドからハート形に変形することを試みますが、一般的化して扱い、 ハート形曲線 II　の「第3節　方法2」の中で与えた位相角の変換式(9b)式の代わりに、逆三角関数などを用いた式に置き換えてみます。

    カージオイド曲線はMasasi Sanae （早苗雅史）氏のサイト、 および、Wolfram Math World に紹介されていますが、 その形の縦と横を入れ替えたときの方程式は次のように表されます。
           ,                       (1)
ただし、は動径、は位相角を示します。

    ハート形曲線Ⅱの「第3節　方法2」と同様に、カージオイドの底に角度を付けるような位相角の変換を、 カージオイド（図1）の位相角から ハート形曲線（図2）の位相角に、図3に表されるように行います。 そこで、この逆の変換関数をとして次式を定義します。
           .                       (2)

    こうして、カージオイドの底に角度をなすように変換します。
    綺麗きれいなハートに形にするために、もう1種の変換の強さを表す係数と 縦方向に伸縮する係数を 座標表示にする次の変換式に組み入れます。
           ,                         (3a)
および、
           .                       (3b)

3.   変換関数に逆三角関数を用いた場合

    変換関数に逆三角関数と直線の式 の合成を用いて次のように構成してみます。
           ,                       (4)
ここに、は逆三角関数の配分率、は直線の式の配分率を示し、いわゆる変換の強さを示す任意の係数と考えます。 ただし、図3に見られるようにには周期性がなく、の範囲にのみ適用されます。
    こうすることで、以下に示すように、ハート形曲線Ⅱの「第3節　方法2」に比較してハートの上の切れ込みが穏やかなハート形曲線が得られます。 しかし、ハートの下の尖とがりが長く流れる傾向にあります。

    (1)式、(2)、(3a)、(3b)、および、(4)式を計算することにより、ハート形曲線の 座標が求められます。 こうして得られた図形の例を図4から図19に示します。 ただし、一貫してとしました。 理由は、係数はハートの大きさのみに関係し、ハートの形に無関係だからです。

    上図を着色すると次のようです。

    これ以外にも別方法で得られるハート形がハート形曲線Ⅱ （こちら ）にあります。

    以上、ハート形曲線を描く元のデータを集めると、ハート形曲線が存在する各パラメータ 、 および の範囲が分かります。これを図19に示します。

    ハート形以外の曲線も次のように得られます。

    上図を着色すると次のようです。

4.   変換関数に位相角を

    前節では、ハートの下の尖とがりが長く流れる傾向にあります。この傾向を修正してみます。
    前節で用いた逆三角関数の位相幅を1周期いっぱいのに取っていましたが、ここでは、それより狭せまい、 （ただし、）に取ることにします。すると、前節の(4)式に代えて、次式の変換式を使うことになります。
           ,                       (5)
ただし、。
    なお、のとき(5)式は(4)式に移行する。

    (1)式、(2)、(3a)、(3b)、および、(5)式を計算することにより、ハート形曲線の 座標が求められます。 こうして得られた図形の例を図21から図36に示します。ただし、一貫してとしました。 理由は、係数はハートの大きさのみに関係し、ハートの形に無関係だからです。

    上図を着色すると次のようです。

    これ以外にも別方法で得られるハート形がハート形曲線Ⅱ （こちら ）にあります。

    以上、ハート形曲線を描く元のデータを集めると、ハート形曲線が存在する各パラメータ 、 および の範囲が分かります。 これを図36に示します。なお、 は 0.95 から 0.98 の範囲で、ほぼ固定です。

5   変換関数に正接関数を用いた場合

    変換関数に正接関数関数と直線の式 の合成を用いて次のように構成してみます。
           ,                       (6)
ここに、は正接関数の配分率、は直線の式の配分率を示し、 いわゆる変換の強さを示す任意の係数と考えます。 は、正接関数を図3の境界に合わせるために導入した任意の定数で、原則として、。
    (1)式、(2)、(3a)、(3b)、および、(6)式を計算することにより、ハート形曲線が下図のように得られます。ただし、一貫してとしました。 理由は、係数は閉曲線の大きさのみに関係し、その形に無関係だからです。

    上図を着色すると次のようです。

6   変換関数に双曲線正接関数の逆関数を用いた場合

    変換関数に双曲線正接関数の逆関数と直線の式 との合成を用いて次のように構成してみます。
           ,                       (7)
ここに、は双曲線正接関数の逆関数の配分率、は直線の式の配分率を示し、 いわゆる変換の強さを示す任意の係数と考えます。 は、双曲線正接関数の逆関数を図3の境界に合わせるために導入した任意の定数で、の条件があります。
    (1)式、(2)、(3a)、(3b)、および、(7)式を計算することにより、ハート形曲線が下図のように得られます。ただし、一貫してとしました。 理由は、係数はハートの大きさのみに関係し、ハートの形に無関係だからです。

    上図を着色すると次のようです。

7   変換関数にフェルミ分布関数の逆関数を用いた場合

    フェルミ分布関数は量子力学においてフェルミ粒子（電子など）が従う統計的なエネルギー分布関数で、次式で与えられます。
           ,                       (8)
ただし、は温度エネルギーで規格化したフェルミ粒子の規格化エネルギーを示します。
    この分布関数の逆関数が図3に近い形をしています。 こうして、変換関数にフェルミ分布関数の逆関数と直線の式 との合成を用いて次のように構成してみます。
           ,                       (9)
ここに、はフェルミ分布関数の逆関数の配分率、は直線の式の配分率を示し、 いわゆる変換の強さを示す任意の係数と考えます。 は、フェルミ分布関数の逆関数を図3の境界に合わせるために導入した任意の定数で、の条件があります。
    (1)式、(2)、(3a)、(3b)、および、(9)式を計算することにより、ハート形曲線が下図のように得られます。ただし 、一貫してとしました。 理由は、係数はハートの大きさのみに関係し、ハートの形に無関係だからです。

    上図を着色すると次のようです。