2011年1月にスウェーデンのジョシュア・ゴットデンカー氏（以下、ジョシュア氏）から 球面のスパイラル曲線を紹介され、 卵形曲線にも出来ないか、とのメールが寄せられました。山本がスパイラル曲線の式を作り、3次元（3D）における曲線の数値座標を計算しました。 それをエクセルファイルに書き込んだ結果を ジョシュア氏、および、同時期に山本と連絡があったスヴェイン・ダニエル・ソルヴェヌス氏 （以下、ダニエル氏）とのご協力を得て、3D画像を作成していただきました。卵形とリンゴ形の双方で行います。

    一般的な表示は、浅井康之氏（塾長室を参照）に教えていただきました。 それは次のような方法です。回転対称な閉曲線に対しては一般的と言えましょう。
    (x, y)平面で定義された閉曲線を縦に立てるために (z, x)平面に書き換えた次の閉曲線を考えます。
                     ,                        (1)
ただし、t はある媒介変数です。この閉曲線を z の周りに回転して出来る閉曲面の方程式が次の式で表せる、というものです。
                     ,                        (2)
ただし、は (y, z)平面における位相角で、 0 < < 2。 媒介変数 t と位相角の関係式を別に作る必要があります。 最も簡単なのは、ある定数 c を使って
                     ,                        (3)
とすることです。

    (x, y)平面における卵形曲線の方程式は卵形曲線のページの(9b)式ですが、 上記(1)式の表示に従って、次のようにします。
                     .                        (4)
    上記(2)のように次式に書き換えます。
                     ,                        (5)
ただし、は (y, z)平面における位相角で、 0 < < 2。 この場合の媒介変数 z と位相角の関係は(3)式に相当して
                     ,                        (6)
としました。

    (5)式をコンピュータで計算させた結果、ジョシュア氏、ダニエル氏それぞれにより図1および図2の3D画像が得られます。

    次に、(6)式の代わりに次式を用いると、ジョシュア氏、ダニエル氏それぞれにより図3および図4の3D画像が得られます。
                     .                        (7)

    (x, y)平面におけるリンゴ形曲線の方程式はリンゴ形曲線の方程式のページの(3)式ですが、 上記(1)と(2)式の手順に従って行い、次のリンゴ形スパイラルの式を作りました。
                     ,                        (8)
ただし、は (y, z)平面における位相角で、 0 < < 2。 この場合の媒介変数 z と位相角の関係は(3)式を用いました。

    (3)式と(8)式をコンピュータで計算させた結果、ジョシュア氏により図5および図6の3D画像が得られます。2D表示の正面図と平面図は図7のようになります。