「卵形線」の数学的な定義は Ikuro 氏のサイト 「デルトイドの幾何学(その9)」、 および、数学独学塾塾長 浅井康之氏のサイト 「塾長(校長)室」 の冒頭に書かれていますが、 ここでは、現実の鶏卵けいらんに近い形を与える曲線の方程式を追求し、 その曲線を暫定ざんてい的に「卵形曲線」と呼ぶことにします。
    卵形曲線についてインターネットを検索しますと、 Egg Curves and Ovals、 カッシーニの卵形曲線、Oval、Cassini oval が見つかりました。 しかし、これらには現実の卵形に近い曲線の方程式がないようです。
    そこで本ページでは、現実の卵形に最も近い曲線の方程式を見つけようと試みるもので、 以前、山本が 茨城高専図書館だより63号（2006年）に載のせました短著 を、1ケ所のミスを修正するとともに内容を再構成して紹介します。
    なお、卵形曲線の数値計算結果の表作成などに 「HTMLタグ」というサイトを参考にしました。 有難うございます。

図1　卵形曲線を描くP点の説明 図2　卵形曲線（a=4 のとき）

    卵の形は物理化学の要素を含む生理科学的な問題や進化論的淘汰の問題などが考えられますが，いわゆる卵形曲線はどのような方程式で表され得るのでしょうか。 この曲線の方程式は余りお目にかかりません。それは数学的普遍性がないからだと思います。

    そこで，科学的な理屈を問わないで，視覚的に卵形になる曲線で簡単な式で表されるものを探ってみました。 最も簡単な考え方は，図1に示すように， 軸上にある点Q から伸びる線分PQがあって，その角度 に応じて， 点Q が 軸上を余弦関数的に
       ,                       (1)
のように変わると同時に，線分の長さ も余弦関数的に
       ,            (2)
のように変わるときに，線分の先端P の軌跡が卵形になるものを見つけようというものです。ただし，
       .                             (3)
    図1より，P点座標はつぎのようになります。
       ,             (4)
       ,                       (5)

    以上を解くことは意外に大変なので，
       ,                                (6)
と限定して(1)式から(6)式を解くと，
       ,      (7)
のような4次式になります。

    2021年に、(7)式への求め方について問い合わせがありました。確かに、(7)式の誘導はそれほど簡単ではないようです。それで、その誘導を参考までに、 「 (7) 式の導出」 に示します。

b=a b=0.8a b=0.7a b=0.6a

    式の表示を簡単にするために， 方向にだけ平行移動させ，
       ,    ,               (8)
のような定数 , を導入すると，(7)式より

       ,          (9)
ただし，.
    (9)式を通常の2次方程式の解法を使って解くと、

       .          (9b)
これはコンピュータで計算させるときに用います。

    を導入すると，さらに式が簡単になり，

       ,          (10)

という卵形曲線らしき方程式が得られます。簡素で美しい形をしています。

    (10)式を標準とするのがよいのですが，当初，(9)式を中心に考えてきましたので、 以下の記述も (9)式を基にして議論を進めていきます。

    の場合につき， の値をいろいろ変えて (9)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと，図2のようになります。 のときは円になります。 の値が増すにつれ卵形になり， のときに実際の卵と比較するとそっくりです。 このときの卵形曲線を現実の卵と比べたものが図2aです。

    以上、図1、および、(1)～(6)式の計算過程が、現実の鶏体内での卵の生成過程を示唆しているのかもしれません。

    なお，図2中， のときのみ x=0 で尖っていますが，それ以外は尖ることはありません。 このことは， のとき以外では、 x=0 に於ける傾斜が (dy/dx)x=0 ＝∞ であることを簡単に確かめることができるからです。

    2011年3月に永島 明 氏が 図2を分かりやすく動画として表示なされました。 感謝いたします。それを図2bに示します。

(9)式を一寸書きかえると
       ,          (11)
となり， の円との関係がよく分ります。
    つぎに，3次元立体空間における卵形曲面の方程式は， を に置き換えればよく，次のようになります。

       ,          (12)
ただし，。

    (12)式を一寸書きかえると
       ,          (13)
となり， の球面との関係がよく分ります。

［卵形曲線の長径 、短径 、周の長さ 、 および、平面面積 ］

図2c　長径、短径、 周の長さ、および、 平面面積

    卵形曲線の長径 は(9)式からすぐ分かるように = となります。 他方、短径 は解析的には求まりません。 卵形曲線の周の長さ は

       ,          (14a)
ただし、

    次に、図2で示される卵形曲線の平面面積 は、(9b)式で与えられる回転半径を用いて次式で計算されます。

       .          (14c)

2.   3次元空間における卵形の体積 と表面積

    (12)式、または、(13)式で与えられる3次元空間における卵形図形の体積 は、 (9b)式で与えられる回転半径を用いて次式で計算されます。

       .          (15a)

計算結果は、のときは

となり、 b=0 のときは次式の球の体積となります。

       ,          (15c)
ただし、半径は a/2 です。

    参考までに、(15b)式の計算内容の詳細は次のようです。

    次に、卵形立体図形の表面積 は

       ,          (16)
ただし、は(9b)式で与えられ、は(14b)式で与えられます。
     より詳しい解析は "How can I find the surface area of a normal chicken egg?" に書かれています。

    (15b)式、または、(15c)式による卵形立体図形の体積 、(16)式による卵形立体図形の表面積 、 卵形曲線の長径 、卵形曲線の短径 、 (14a)式による卵形曲線の周囲の長さ 、および、 (14b)式による卵形曲線の平面面積 の各々のCプログラムによる数値計算結果を、表1に示します。

(クリックすると拡大します)

図3　卵の体積 と卵の表面積 の 短径 と長径 の比 に対する依存性

    このうち、(15c)式による卵形立体図形の体積 と(16)式による卵形立体図形の表面積 の 短径 と長径 の比 に対する依存性を図3に示します。

3.   を媒介変数として卵形曲線の方程式を表示すること

    奈良県生駒市にご在住の伊藤　忠夫　氏 （氏の卵形曲線についてはこちら ） からご指摘があり，を媒介変数として 卵形曲線の方程式を表示する方が，曲線をコンピュータで描かせるのに威力があることを再認識いたしましたので， ここでは、媒介変数を用いて卵形曲線の座標 とを表しておきます。

    まず，上記(7)式を誘導した直後に述べた「 方向に だけ平行移動させた」ということに従って，(4)式右辺に定数 の値を加えると，
      .
    次に，(6)式を(1)式に代入して得た式と(2)式を上式に代入し，(8)式を用いて定数 とをとに変換すると， 次式を得ます。
       .          (17)
    つぎに，(2)式を(5)式に代入し，(8)式を用いて定数 とをとに変換すると， 次式を得ます。
       .          (18)
    以上，(17)式と(18)式が本目的である媒介変数を用いた卵形曲線の方程式が得られました。 の値は， 2πの連続する範囲さえ確保すれば任意に選べて，特に制限はありません。

    以上をまとめて，次式となります。

       ,          (19)
ただし，.
    なお、(19)式中のは図1で定義されるもので、極座標表示における卵形曲線の位相角ではありません。

    前節までの卵形曲線は、図2を見て分かりますように、その基礎図形は円であった。円に代えて楕円を使えば、 もっと広範囲の形をとる卵形曲線が得られる可能性が出てきます。方程式では、(9)式を拡張して次式を考えました。

       .          (20)

    上式で b=0 のとき上式は
       .          (21)
となり、確かに、横軸方向の曲率半径が 、 縦軸方向の曲率半径が の楕円となっています。
    (20)式をグラフ表示すると、図4a、および、図4bのようになります。

    (20)式を通常の２次方程式の解法を使って解くと、

       .          (20b)
これはコンピュータで計算させるときに用います。

    最後に、x の周りに回転させた立体図形の体積 V は、(20b)式で与えられる回転半径を用いて、 (18)式を計算したときと同様に求めると、次のように得られます。

のときは
       ,          (22a)

となり、 b=0 のときは次式の回転楕円体の体積となります。

       .          (22b)



    以上，a>b>0 の場合に限定した上での解析であった。

    以下に，a>0 の条件はそのままで，(9)式に於いて b<0 および b>a に拡張した各場合を参考までに示します。 なお，a<0 への拡張は未だ行っていません。

5.1   a>0 で b<0 の場合――海栗うに形？

    a>0 で b<0 の場合を図5に示します。何か，海栗うにに似ていませんか。


5.2   b>a>0 の場合――魚形？

    b>a>0 の場合を図6に示します。x=0 で曲線が尖り，x<0 の領域にも曲線が飛び出します。幼児が描く魚みたいですね。

図7

    図5を横軸に引き伸ばすと卵形に近づくカーブがありそうです。そこで，その引き伸ばしのために， (9)式において新たな定数 c (ただし、0 < c < 1) を導入して，x を cx に置き換えると，次式が得られます。

       .          (23)

    a=4, c=0.55 としてコンピュータで計算させると，b の種々の値に対する曲線群が左図(図7)に描かれます。卵形のカーブもありそうです。

6.   卵形曲線からの一般的拡張・・・梨形曲線まで

    清水建設株式会社技術研究所、 元 上席研究員の奥山博康氏 （同左）のご示唆により、 (10)式を拡張して最大限に項を増やす場合で、かつ、 (9b)式のように解析的に解ける拡大方程式を取り扱います。それは次の方程式になります。 この方程式は、上記の全ての曲線を包含しています。これに加えて、梨形の曲線等も描かれます。
    これは、山本が初期に発表した 茨城高専図書館だより63号（2006年）に掲載の卵型曲線を参考に、奥山氏が日射ランプの配光曲線を最小二乗法で解析するために提案された基本式を踏襲しています。

なお、卵形曲線の(10)式の定数 c の条件は拡張の理由で解除します。定数 d と f が共に正である条件は 閉曲線を確保するためです。条件は、下記の(29)式で与えられるものです。 また、最後の条件不等式は下記の(31)式で与えられるものです。さらに、第1節の(10)式の誘導過程で記述したように、 すでにの関係を用いているので、定数 b は使用していません。

    (24)式を、通常の2次方程式の解法で解いて、

    上式において、0 < x < a の範囲では

       ,          (26)

が成り立つので、複号の負号は捨てます。

    こうして、(24)式の解は

となります。

       [註] 0 < x < a の範囲外での解は、(27)式の他に次の(27)'式も存在します。

                             (27)'



    0 < x < a の範囲に話を戻し、この範囲内で閉曲線となるためには x=0 と x=a の双方で y=0 でなければなりません。
    先ず、x=0 の場合を調べるために、(27)式に x=0 を代入すると、

       ,          (28)

となって、この値が y=0 になる条件は次のようになります。

       ,          (29)

    次に、x=a の場合を調べるために、(27)式に x=a を代入すると、

       ,          (30)

となって、この値が y=0 になる条件は次のようになります。

       ,          (31)

    以上、条件(29)式と(31)式が、0 < x < a の範囲内でのみ閉曲線が存在する条件となります。


    最後に、(24)式、および、その解(27)式と(27)'式が与える曲線を描いた2例を、図8、および、図9に示します。

    図8をみて分かるように、(31)式を満たさないc > 2 のときは、閉曲線が 0 < x < a の範囲外に飛び出します。また、 図9をみて分かるように、(29)式を満たさないe > 0 のときも閉曲線が 0 < x < a の範囲外に飛び出します。

    前節の x にを置き換えると(24)式は次式の8次方程式に変わりますが、 解析的に解ける形であることには変わりません。また、定数の条件も変わりません。注意するべきは閉曲線の範囲は となることです。

これが与える曲線の の範囲で描いた2例を、図12、および、図13に示します。

8.   前節の高次化(その2)

    前節の y に於いてもを置き換えると(32)式は次に示す8次方程式となります。 定数の条件は変わりません。閉曲線の範囲も前節と同じ です。

                 (34)

この解は

                 (35)

これが与える曲線の の範囲で描いた2例を、図18、および、図19に示します。

    また、前々節の図10、図11、および、前節の図14、図15に相当して、次のような面白い図形も得られます。なめこに似ていますね。

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9.   本サイトが紹介、または、引用されたサイトや文献

    本サイトは    How can I find the surface area of a normal chicken egg? 、 How to place random points on an egg? 、 塾長(校長) 室 、 271828の滑り台Log 、 WolframAlpha 計算知能 、 draw egg curves from an equation 、 Egg quations 、 Creating a 3D ellipsoid from a 2D ellipse 、 Egg Curves and Ovals   [ ドイツ語の　Eilinien und Ovale ]、 Two-dimensional Yamamoto (2017)'s Egg Curve 、 GENERATING AVIAN EGG USING RATIONAL BEZIER QUADRATIC CURVES 、 卵の曲線の方程式を分かる方いたら教えて下さい！ 、 Creating a 3D Egg in SketchUp with U-V PolyGen 、 Graphs of Eggs 、 Negative Volume of Revolution? 、 How do you find the surface area of an egg using calculus? 、
  などに紹介され、
日射ランプの配光曲線を最小二乗法で解析するために提案された基本式 、 An Egg Volume Measurement System Based on the Microsoft Kinect 、 "DSEG": Original 7-segment and 14-segment fonts 5.Misc 、 Webサイトやモバイルアプリにも組み込める7セグ・14セグフォント「DSEG」 、 Distributed mesh generation for objects with shape variability 、 Negative Volume of Revolution? 、 Projecting Cartesian Coordinates onto the Surface of an Egg in Egg-bot Coordinates 、 Distributed mesh generation for objects with shape variability 、 Packing Ovals In Optimized Regular Polygons 、 KONSTRUKSI PERSAMAAN PERMUKAAN BENTUK-TELUR MENGGUNAKAN KURVA BENTUK-TELUR HUGELSCHAFFER 、 A Modified Avian Egg Shaped CPW Fed Printed Monopole for SWB Applications 、 Membrane-Wrapping Contributions to Malaria Parasite Invasion of the Human Erythrocyte 、 طراحي مفهومي و بهينهسازي کشتي هوايي ارتفاع باال بهوسيلة الگوريتم ژنتيک 〔ペルシャ語〕（Conceptual design and optimization of high altitude aircraft by genetic algorithm〔英訳〕）（遺伝的アルゴリズムによる高高度航空機の概念設計と最適化） 、 Fun With SAS ODS Graphics: Easter Egg Equation Hunt 、 KONSTRUKSI PERSAMAAN PERMUKAAN BENTUK-TELUR MENGGUNAKAN KURVA BENTUK-TELUR HUGELSCHAEFER 〔インドネシア語〕（CONSTRUCTION OF EGG-SHAPE SURFACE EQUATIONS USING HUGELSCHAEFER'S EGG-SHAPE CURVE〔英訳〕）（HUGELSCHAEFERの卵形曲線を使用した卵形表面方程式の構築） 、 MATHEMATICS IA -- Mathematical investigation of an egg （卵の数学的研究） 、 Regulatory Mechanisms in Biosystems -- Mathematical interpretation of artificial ovoids and avian egg shapes (part I) (生物系における調節メカニズム -- 人工卵子と鳥の卵形の数学的解釈[そのⅠ]) , etc. などの論文に引用されています。また、今は消えていますが What is mathematical equation for an egg?　（保存版） のブログにも紹介されました。
    さらに、上記に列挙した論文の中には、私の英文著書 　Nostalgia of Hope and Sentiment in 1950-1990`s, and Seeds that Have Come out from this (創英社)(ISBN: 978-4-88142-516-9, Edition A5, April, 2011)　も引用されています。

    以上、上記のサイトや論文に紹介・引用された本サイトの著者名が「山本信雄」、「Nobuo Yamamoto」、「N. Yamamoto」、「Yamamoto N.」となっていますが、本サイトのアドレスが古い順に「http://www16.ocn.ne.jp/~akiko-y/Egg/index_egg.html」、「http://www.geocities.jp/nyjp07/Egg/index_egg.html」、「http://www.geocities.jp/nyjp07/index_egg.html」　を経過して現在の 本サイトのアドレス「http://nyjp07.com/index_egg.html」になっています。
    古いアドレスは使えませんが、 インターネット・アーカイブ検索（Internet Archive）で古いアドレスを検索すると、保存されていた当時のサイトが現れる可能性があります。

    ここで、本方法も含めて、これまでに鶏卵の現実の形を示す「卵型曲線の方程式」が公表されてきた経緯をまとめてみますと、次のようです。
    2006年8月発表の「卵型曲線の方程式」、 2008年3月25日発表の当ページ「卵形曲線を表す方程式を見つけた」、2008年3月25日発表の「伊藤忠夫氏による卵形曲線の方程式」、 2009年8月1日発表の「浅井康之氏による卵形曲線の方程式」、 2009年9月18日発表の「浅井康之氏の新たな3種の卵形曲線」、 2009年11月8日発表の「卵形の曲線を表す方程式 Ⅴ」、 2009年11月11日発表の「卵形の曲線を表す方程式 VI」、および、2011年5月29日発表の「浅井康之氏の卵形曲線の方程式（その3）」 以来、現実の鶏卵の形に近い卵型曲線の発表はしばらくなかったのですが、2020年3月現在、「Equation to fit an egg」、 「HÜGELSCHÄFFER EGG」、 「Egg Curve」、「Egg-curve」、 「【曲線-12】エッグカーブを描いてみよう」、 および、「The Python Egg Curve」 の報告が新たになされています。